О работе по системному математическому описанию предмета современной символической логики

1. В современной социокультурной ситуации под "логикой" все больше понимается символическая логика (СЛ) и ядро логической работы уже составляет работа именно в качестве математика. Поэтому, взяв целью понимание современной логической работы, ее предмета и задач, приходится поставить в качестве важной (имеющей и самостоятельное значение) задачи системное описание предмета современной СЛ. По крайней мере часть такого описания можно построить средствами самой математики, представив предмет СЛ в виде нескольких взаимосвязанных структур, каждая из которых охватывает предмет СЛ целиком.

2. В качестве основной предметной единицы современной логики я выделяю "теорию" (включая сюда прикладные теории разной степени формализации, логики (как целостные, замкнутые формы мышления) и теория-подобные объекты (ТПО): исчисления, формальные теории, алгебры, логические матрицы, логические модели и их комплексы). ТПО могут рассматриваться как модели или проекты теорий и логик, и именно они являются основными предметными единицами современной СЛ. Мною рассматривались используемые в математике методы сравнения и классификации формальных теорий и на этом основании выделены две структуры, конструктивно охватывающие все множество возможных формальных теорий. Каждая из этих структур задается некоторым отношением порядка и, поскольку между ТПО разных типов имеются определенные связи, то структуры, приписанные одному типу ТПО, косвенно упорядочивают и ТПО других типов.

3. Формальная теория (ФТ) - множество формул, замкнутое относительно некоторых правил вывода. Раз теории отождествляются с некоторыми множествами, то между ними существуют обычные теоретико-множественные отношения (М, Н, =). Эти отношения (Н или М) задают первую из выделенных мной структур. Понятия различных расширений (собственное / несобственное, консервативное / неконсервативное, существенное / несущественное) указывают на разные способы получения экстенсиональных расширений. В алгоритмическом плане нерешенной для меня здесь остается задача сравнение двух произвольных ФТ, сформулированных с разными правилами вывода.

4. Построение другой классифицирующей структуры основано на более сложных процедурах сравнения (методе погружающих операций, методе дефинициальных расширений и др.). Фактически, здесь учитывается одно из интенсиональных свойств ФТ (информационная насыщенность, выразимость, определимость). (Т₁ Н* Т₂) Ывыполнен один из критериев, например: (Т₁ погружается в Т₂) или (Т₁ дефинициально определима в Т₂). В качестве критериев могут использоваться факты наличия или отсутствия отношения "быть (собственным / несобственным, консервативным / неконсервативным, существенным / несущественным) расширением", но для формулировки этих критериев необходим дополнительный теоретический анализ.

5. Отношение "Н*" разбивает множество рассматриваемых ФТ на классы эквивалентности и задает некоторую иерархию этих классов и их элементов. Стремясь построить ТПО, по возможности лучше согласующиеся с интуитивным пониманием теории, можно ввести в рассмотрение новый тип интенсиональных ТПО, являющихся, в некотором смысле, сущностями ФТ. ФТ входят в один и тот же класс эквивалентности (относительно "Н*") е.т.е. они являются различными реализациями одной и той же "сущности". Иначе, можно говорить об информации, которая, по-разному реализуясь в том или ином формальном языке, задает ту или иную ФТ.