<...>
        Между эпохами Пифагора и Платона, с одной стороны, и эпохой современной начиная с XVII в. — с другой, простирается почти два тысячелетия. Этот длинный интервал ознаменован выдающимися успехами математики. Геометрия постигла изучение конических сечений и тригонометрию; метод исчерпывания почти предвосхитил интегральное исчисление, и, кроме того, азиатская мысль привнесла в математику арабские арифметические обозначения и алгебру. Но прогресс двигался по технической линии. Математика в качестве конститутивного элемента в развитии философии не могла в течение этого периода вернуть себе место, отобранное Аристотелем. Некоторые древние идеи, восходящие к пифагоро-платоновской эпохе, продолжали влачить свое существование и могут быть прослежены по тем платонистским влияниям, которым обязан первый период развития христианской теологии. Но философия не получала живого воодушевления от постоянного продвижения математической науки. В XVII в. влияние Аристотеля стало минимальным, и к математике вернулось сознание важности своих первых шагов. То был век великих физиков и великих философов; а физики и философы уподобились математикам. Исключение составлял Джон Локк; да и на того сильно повлиял ньютоновский кружок Королевского общества. В эпоху Галилея, Декарта, Спинозы, Ньютона и Лейбница математика была звездой первой величины по своему влиянию на формирование философских идей. Но математика, которая теперь обрела свою силу, очень сильно отличалась от математики древних эпох. Она выиграла в общности и начала свою почти невероятную нынешнюю карьеру, все увеличивая и увеличивая утонченность обобщений и находя — всякий раз усложняясь — некоторые новые применения, будь то к физике или к философии. Арабское обозначение обеспечило науку почти совершенным по эффективности средством манипулирования числами. Это освобождение от борьбы вокруг арифметических частностей (примеры того смотри, например, в египетской арифметике 1600 г. до н. э.) обеспечило возможность развития, которое уже до некоторой степени предвосхитила греческая математика эллинизма. Теперь на сцену вышла алгебра, а алгебра является обобщением арифметики. Подобно тому как понятие числа является абстракцией относительно всякой отдельной совокупности предметов, алгебра представляет собой абстракцию относительно понятия всякого отдельного числа. Точно так же как число 5 безразличным образом относится ко всякой группе из пяти предметов, используемые в алгебре буквы используются в отношении всякого числа при условии, что каждая буква предназначена для обозначения того же самого числа в данном контексте его использования.
        Такое применение впервые было опробовано в уравнениях, которые представляют собой способы формулировки сложных арифметических вопросов. В этом контексте буквы, которые обозначали числа, получили наименование “неизвестные”. Но применительно к уравнениям вскоре родилась новая идея, а именно представление о функции с одним и более общими символами, которые являются буквами, обозначающими всякое число. Такое использование алгебраических букв дало им название аргументов функции, а иногда их называли переменными. Затем, например, если угол обозначен алгебраическим символом, выражающим его числовое измерение в соответствии с данными единицами измерения, тригонометрия включается в новую алгебру. Алгебра тем самым превращается в общую науку анализа, которая рассматривает свойства различных функции с неопределенными аргументами. И наконец, частные функции, такие, как тригонометрические, логарифмические и алгебраические, обобщаются до представления о “всякой функции”. Слишком широкое обобщение ведет в пустоту. Здесь мы имеем дело с широким обобщением, но ограниченным одной счастливой частностью, которая представлена плодотворной идеей. Например, идея всякой непрерывной функции, накладывающая ограничения на непрерывность, является такой плодотворной идеей, ведущей к важным приложениям.
<...>